Фамилия Асиновскова — женская форма фамилии Асиновсков, и её разбор стоит начать не с корня, а с необычного суффиксального оформления. Модель на -ск(ов) встречается в русских фамилиях реже, чем стандартные -ов или -ин, и указывает на географическое происхождение. Обычно фамилии на -ский/-ской получали дворяне по названию своих владений, а на -сков — выходцы из городов вроде Асино, Асиново или Асиновка. Но здесь суффикс сдвоен: -ск-ов, что может говорить о более позднем закрепощении прозвища или о том, что основа — не топоним, а личное имя.

Основа Асин- восходит к крестильному имени Ася. Это не самостоятельное имя, а народная сокращённая форма от целого ряда полных имён: Анастасия (в мужском варианте Анастас), Арсений, Аскольд или даже Асинкрит (греческое «несравненный»). В дореволюционной России такие уменьшительные формы часто становились основой для фамилий, особенно в крестьянской и мещанской среде, где полное имя в быту почти не употребляли.

Поскольку фамилия оканчивается на -а, перед нами женский вариант. Мужская форма — Асиновсков. Такие фамилии с окончанием на твёрдый согласный типичны для северных и сибирских регионов России, а также для казачьих областей. В центральной России чаще встречались бы Асиновский или Асинов. Асиновскова — это «чья?»: дочь или жена человека по прозвищу Асиновской. Первым носителем мог быть крестьянин, переселившийся из села Асиново (такие названия есть, например, в Томской области) или получивший прозвище по имени отца: Ася → Асинов сын → Асиновской.

С точки зрения сословной принадлежности, фамилии на -сков редко встречаются у дворян. Чаще они фиксировались у однодворцев, государственных крестьян и купцов в XVI–XVIII веках. Прямых указаний на принадлежность к знатному роду нет, и это нормально: большинство русских фамилий именно «народные». Спорных версий у Асиновсковой немного: иногда основу ошибочно связывают с тюркским «асын» (память) или с рекой Асиновка, но лингвистически убедительнее выглядит связь с каноническим именем через уменьшительную форму Ася.