Фамилия Асинская — редкий случай, когда географическая основа очевидна, а вот путь, которым она попала в список русских фамилий, заставляет задуматься. Это типичная «фамилия-прилагательное» с суффиксом -ск-, указывающим на принадлежность к чему-то: к местности, к населённому пункту или, реже, к церковному приходу. Вопрос в том, к какому именно.

Самое прямое объяснение — связь с гидронимом Аса, Ась или Асия. В России есть несколько речушек с похожими названиями, но наиболее известна река Асья в Пермском крае (приток Чусовой). Топонимические фамилии на -ский обычно получали дворяне по названию своих поместий, а также духовенство — по названию храма или села, где служили. Если предки Асинских были священниками, фамилия могла возникнуть от названия села Асинское или церкви в честь какого-то святого с похожим именем (например, Асий — мужская форма, крайне редкая в святцах).

Вторая, более прозаичная версия — от прозвища или имени Ася. В народной среде Асей могли называть человека родом с реки Асы (как «москвич» от Москвы), но чаще это уменьшительная форма от крестильных имён Анастасий, Асий или даже Осия. В таком случае фамилия Асинская образована не напрямую от прозвища, а от отчества: сын Аси становился Асиным, а внук или потомок, переселившийся в другое место, мог получить прозвание Асинский — по аналогии с тем, как крестьян записывали по деревне, а не по отцу. Суффикс -ск- здесь выступает как маркер «выходец оттуда-то».

Написание фамилии с двумя «с» (Асинская, а не Асиньская) — орфографическая норма, закреплённая в XIX веке. В дореволюционных документах можно встретить вариант Асинская с одной «н» (Асинская — от «Асина»), но это уже вопрос путаницы в падежных окончаниях. Географически фамилия тяготеет к северным и уральским регионам — там, где протекают реки Асья и Аса, и где топонимические фамилии на -ский были распространены среди крестьянства, а не только дворянства.

По сословному составу Асинские — чаще всего крестьяне или мещане. В дворянских родословных книгах эта фамилия не встречается, что косвенно подтверждает её «речную» или «прозвищную» природу, а не поместную. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в Пермской, Вятской или Архангельской губерниях — именно там топонимические модели на -ский прижились у простого населения сильнее, чем в центральной России.