Фамилия Асиновская — женская форма; её мужской вариант — Асиновский. Она построена по распространённой модели на -ский/-ская, которая в восточнославянской традиции чаще всего указывала на географическое происхождение. Носитель такой фамилии — выходец из места, которое называлось Асиново, Асиновка или Асина.

Основа фамилии — топоним Асино. Самый известный современный объект с таким именем — город Асино в Томской области. Но фамилия Асиновская могла возникнуть задолго до его основания (конец XIX века). Скорее всего, существовали более старые деревни с похожим названием — например, Асиново или Асина, разбросанные по разным губерниям Российской империи. В ономастике есть и другая версия: фамилию могли образовать от прозвища или неканонического имени Ася, Аська (уменьшительное от Анастасия или Асаф). Суффикс -овский в таком случае придавал значение принадлежности, и Асиновский — это «сын или потомок Аси».

Окончание -ская в сословном смысле двойственное. В XVIII–XIX веках его часто носили дворяне и духовенство, но к концу XIX столетия такие фамилии активно давали и крестьянам, особенно переселенцам. Если ваши предки из Сибири или Урала, фамилия могла закрепиться за первопоселенцами, прибывшими из деревни Асиново. Географическая привязка — самый надёжный ключ: ищите на старых картах населённые пункты с корнем «Асин» в тех губерниях, откуда родом семья.