Фамилия Асинский — редкий пример фамилии, образованной не от имени или профессии, а от географического названия с неочевидным корнем. Типичный суффикс -ский указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но в данном случае он мог закрепиться и за выходцами из духовенства, и за крестьянами, получившими фамилию по месту жительства.

Основа фамилии — Асино или Асье. Самый прямой вариант: село или деревня с названием Асино (такие есть в бывшей Смоленской губернии, в Сибири, на Украине). Тогда Асинский — «выходец из Асина». Сложность в том, что топоним Асино сам требует объяснения: возможно, от личного имени Ося (производное от Осип, Иосиф), а может, от диалектного «ась» — так в некоторых говорах звали человека, который часто переспрашивал.

Менее вероятная, но допустимая версия — от прозвища Ася. В старину Асей могли называть человека с капризным или медлительным характером (от «аськать» — мешкать, тянуть). Тогда фамилия означала бы «сын Аси», но модель на -ский для прозвищ нехарактерна, поэтому географическое происхождение убедительнее.

По сословной принадлежности Асинские могли быть как дворянами (типичная «географическая» фамилия с суффиксом -ский), так и священниками: в семинариях часто давали фамилии по названиям сёл, где служил отец. Встречаемость фамилии низкая, она не входит в списки распространённых русских фамилий, что подтверждает её локальный характер.

В написании фамилии стоит обратить внимание на двойное «с»: вариант Асинский (с одной «с») встречается, но реже и может быть результатом описки в метриках. Если ваши предки писались через два «с», это указывает на устоявшуюся форму, а не на ошибку.