Фамилия Асоцкая — женская форма фамилии Асоцкий, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ская (или -цкая) указывает на географическое происхождение: такую фамилию давали человеку, который был родом из места с названием на -ск, -цк или -ц. В основе здесь лежит корень «Ас-», а суффикс -оцк- мог возникнуть из топонима, например, Асоцк, Асовец или даже Осовец (с акающим произношением, когда «о» переходит в «а»). Более точная версия — от названия населённого пункта вроде Асово или Асы, где прилагательное «асоцкий» означало «принадлежащий к Асу» или «выходец из Асова».

Вторая, менее вероятная, но возможная гипотеза — связь с личным именем или прозвищем. В древнерусских говорах «ас» могло быть сокращением от имени Асаф (Иосаф) или от тюркского «ас» (сокол, ястреб), но для фамилии на -ский это нетипично: такие фамилии почти всегда территориальные, а не от прозвищ. Скорее всего, предок Асоцкой был помещиком, священником или крестьянином, который переселился из села с похожим названием, и фамилия закрепилась за его потомками.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в западных и центральных регионах России, а также в Беларуси и на Украине — там, где распространены топонимы с корнем «Ос-» (Осовец, Осово). В польском языке схожая фамилия Osocka могла возникнуть от названия Осоцк (Osock), что подтверждает общую модель для славянских фамилий. Таким образом, Асоцкая — это указание на «ту, что из Асоцка», и её носительницы, скорее всего, имеют предков, переехавших из небольшого поселения, которое со временем могло исчезнуть или изменить название.

Обратите внимание на аканье: в говорах, где «о» без ударения произносится как «а», топоним Осовец легко превращался в Асовец, а фамилия от него — в Асоцкий/Асоцкая. Это объясняет, почему корень пишется через «а», а не через «о». Сравните с однокоренными фамилиями Осовский или Осоцкий — они встречаются чаще, и Асоцкая может быть их диалектным вариантом. Если искать реальное место, которое могло дать фамилию, обратите внимание на деревни Осовец в Брестской или Могилёвской областях: оттуда переселенцы и принесли фамилию в другие регионы.