Фамилия Ассоргина — женская форма фамилии Ассоргин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Суффикс -ин в русской ономастике указывает на принадлежность: такие фамилии обычно образовывали от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а/-я. Иными словами, Ассоргин — это «сын (или потомок) Ассорги», а сама основа Ассорг- — главная загадка, вокруг которой строятся две основные версии.

Первая версия, самая прямая и правдоподобная, отсылает к ветхозаветному имени Ассур. В Библии Ассур — сын Сима, родоначальник ассирийцев, и это имя изредка встречалось в русских святцах. В дореволюционной России его давали при крещении, особенно в старообрядческой среде, которая держалась за архаичные имена. От Ассур через форму Ассурга (с суффиксом -га, как в именах Ивашка, Ерёмка) могло получиться Ассургин. Со временем, из-за народной этимологии или фонетических процессов, «р» могло выпасть или перейти в «с», что и дало современное звучание Ассоргин. Сочетание «сс» в начале слова для русского уха необычно, но в фамилиях, уходящих в книжную традицию, такое встречается.

Вторая версия, бытовая, связывает фамилию с прозвищем от слова «оса» (древнерусское «осорга» или диалектное «осорка»). Прозвище Ассорга могли дать человеку, который ассоциировался с этим насекомым — например, за худобу или колкий характер. Однако здесь мешает начальное «а» вместо «о»: если бы фамилия пошла от осы, мы бы ждали форму Осоргин, а не Ассоргин. Случаи перехода «о» в «а» под ударением в русских фамилиях редки, поэтому эта версия слабее.

Географически фамилия Ассоргина встречается редко, в основном в центральных и северных областях России — там, где старообрядческие общины сохраняли архаичные имена. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или мещанами, а само прозвище дали по имени, которое в XIX веке уже почти вышло из обихода. В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова эта фамилия не упоминается как распространённая, что подтверждает её редкость и книжное происхождение.