Фамилия Ассоргина — женская форма фамилии Ассоргин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Суффикс -ин указывает на принадлежность: в русской ономастике такие фамилии обычно образовывали от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а/-я. То есть Ассоргин — это «сын (или потомок) Ассорги», а сама основа Ассорг- — главная загадка.

Самая прямая версия: основа восходит к имени Ассур, которое в русских святцах встречается как редкое каноническое имя. В Библии Ассур — сын Сима, родоначальник ассирийцев. В дореволюционной России имя Ассур изредка давали при крещении, особенно в среде старообрядцев, которые держались за ветхозаветные имена. От Ассур через форму Ассурга (с суффиксом -га, как в именах Ивашка, Ерёмка) получилось Ассургин, а со временем «р» могло выпасть или перейти в «с» из-за народной этимологии — так и возник Ассоргин. Фонетически это правдоподобно: сочетание «сс» в начале слова для русского уха необычно, но в фамилиях, уходящих в книжную традицию, такое встречается.

Вторая версия, более бытовая: прозвище Ассорга могли дать человеку, который ассоциировался с осой (древнерусское «осорга» или диалектное «осорка» — оса). Но здесь мешает начальное «а» вместо «о»: если бы фамилия пошла от осы, мы бы ждали форму Осоргин, а не Ассоргин. Случаи перехода «о» в «а» под ударением в русских фамилиях редки, поэтому эта версия слабее.

Географически фамилия Ассоргина встречается редко, в основном в центральных и северных областях России — там, где старообрядческие общины сохраняли архаичные имена. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или мещанами, а само прозвище дали по имени, которое в XIX веке уже почти вышло из обихода. В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова эта фамилия не упоминается как распространённая, что подтверждает её редкость и книжное происхождение.