Фамилия Авдасева — женская форма от Авдасев, и разговор стоит начать с того, что она почти наверняка происходит от имени Авдасей. Это народная, просторечная форма крестильного имени Авдей (от древнееврейского Овадья — «слуга Бога»). Переход «Авдей» в «Авдасей» типичен для русской диалектной речи: между корнем и суффиксом вставляли звук -с- (сравните: Авдей — Авдас, как Кузьма — Кузьмас, а потом уже Авдасей). Фамилии на -ев/-ов образуются от полных форм имён, поэтому Авдасев — буквально «сын Авдасея».

Интересная деталь: фамилия редкая, и её географические корни, скорее всего, лежат в северных и центральных областях России, где сохранялись архаичные формы имён. Встречается она в Вологодской, Архангельской, Кировской областях — в местах, где долго держался старый уклад и где такие «растянутые» варианты имён как раз бытовали. В южных говорах форму «Авдасей» почти не фиксировали, там предпочли бы «Авдей» или «Авдюша».

Морфология проста: суффикс -ев указывает на принадлежность (чей? — Авдасев), а окончание -а в женском варианте — грамматический рудимент, по которому жену или дочь называли по отцу. В современном употреблении носительница фамилии Авдасева может и не задумываться об этом, но исторически за ней стоит имя предка, который в документах XVII–XVIII веков мог значиться как Авдасейко или Авдас.

Второй, менее вероятный вариант — от прозвища Авдас, которое могло быть связано с диалектным глаголом «авдаться» (в некоторых говорах — «отзываться», «окликать») или даже с тюркским «авда» (охота), но для русской фамилии это уже натяжка. Имя Авдей — основа гораздо надёжнее, и на неё указывает большинство ономастических словарей при разборе похожих фамилий (Авдеев, Авдюшин, Авдасев).

Так что если вы встретили Авдасеву, перед вами потомок человека, которого в быту звали не просто Авдеем, а ласково или по-деревенски — Авдасеем. Такая фамилия — живой свидетель того, как церковное имя обрастало местными формами и закреплялось в роду.