Основой фамилии Авсюкевич послужило имя Авсюк. Основой фамилии Авсюкевич послужила просторечная форма имени Евсевий – Авсюк (Евсевий > Евсей > Авсей > Авсюк), которое в переводе с греческого означает «благочестивый». Таким образом, потомок человека, обладающего именем Авсюк, со временем получил фамилию Авсюкевич.