Фамилия Авсюкова — женская форма, которая напрямую наследует происхождение от мужской основы Авсюков. Разбирать её стоит через суффикс -ов: в русских фамилиях он отвечает на вопрос «чей?» и указывает на потомка человека, которого звали Авсюк.

Корень здесь — Авсюк. Это уменьшительная или обиходная форма от канонического крестильного имени Евсевий (в просторечии — Авсей). Евсевий в переводе с греческого означает «благочестивый». Полная форма звучала тяжело, поэтому в ходу были сокращения Авсей, Авсюк. Суффикс -юк характерен для южнорусских, украинских и белорусских говоров: он образует ласкательные или патронимические формы. То есть Авсюк — это «маленький Авсей» или «сын Авсея».

Есть и другая, менее вероятная, версия. В некоторых диалектах «авсюком» могли называть человека, связанного с овсом (от «овёс»). Но в этом случае фамилия писалась бы через «о» — Овсюков, и такие фамилии действительно существуют. Форма с «а» твёрдо указывает на происхождение от имени, а не от названия злака: в русской ономастике замена «о» на «а» в корне (аканье) встречается, но для фамилий на -юк это нетипично.

Географически фамилия Авсюков (и, соответственно, Авсюкова) чаще всего встречается в регионах, где было распространено имя Евсевий: в центральной России, Поволжье, а также на юге — в бывших казачьих областях. Предки современных Авсюковых могли быть крестьянами или посадскими людьми, получившими фамилию по имени отца или деда. Сословной привязки нет: такие патронимические фамилии на -ов носили и крепостные, и мещане, и духовенство (хотя священники чаще брали фамилии на -ский).

В написании фамилии возможны варианты: Авсюкова (женская форма) и Авсюков (мужская). Ударение, судя по типичной модели, падает на второй слог: Авсю́ков. Встречается и ударение на последний слог — Авсюко́в, но это реже и чаще в южных говорах. Если вы встретили носительницу с фамилией Авсюкова, скорее всего, её предки по мужской линии происходят из среды, где имя Евсевий было привычным, а суффикс -юк выдаёт южное или западнорусское влияние на семейное прозвище.