Фамилия Авсюкова — женская форма фамилии Авсюков, и её происхождение напрямую связано с мужской основой. Разбирать её стоит через словообразовательный суффикс -ов, который в русских фамилиях чаще всего указывает на принадлежность: «чей?» — Авсюков, то есть сын или потомок человека по имени или прозвищу Авсюк.

Корень здесь — Авсюк. Это уменьшительная или обиходная форма от канонического крестильного имени Евсевий (в просторечии — Авсей). Евсевий в переводе с греческого означает «благочестивый». В русской народной среде имя быстро адаптировалось: полная форма Евсевий звучала тяжело, поэтому в ходу были сокращения Авсей, Авсюк. Суффикс -юк характерен для южнорусских, украинских и белорусских говоров, где он образует ласкательные или патронимические формы. Таким образом, Авсюк — это «маленький Авсей» или «сын Авсея».

Есть и другая, менее вероятная, версия. В некоторых диалектах «авсюк» могли называть человека, связанного с овсом (от «овёс»). Но в этом случае фамилия писалась бы через «о» — Овсюков, и такие фамилии действительно существуют. Форма с «а» твёрдо указывает на происхождение от имени, а не от названия злака: в русской ономастике замена «о» на «а» в корне (аканье) встречается, но для фамилий на -юк это нетипично.

Географически фамилия Авсюков (и, соответственно, Авсюкова) чаще всего встречается в регионах, где было распространено имя Евсевий: в центральной России, Поволжье, а также на юге — в бывших казачьих областях. Предки современных Авсюковых могли быть крестьянами или посадскими людьми, получившими фамилию по имени отца или деда. Сословной привязки нет: такие «патронимические» фамилии на -ов носили и крепостные, и мещане, и духовенство (хотя священники чаще брали фамилии на -ский).

В написании фамилии возможны варианты: Авсюкова (женская форма) и Авсюков (мужская). Ударение, судя по типичной модели, падает на второй слог: Авсю́ков. Встречается и ударение на последний слог — Авсюко́в, но это реже и чаще в южных говорах.