Фамилия Азбаев — одна из тех, где корень не славянский, а тюркский, и чтобы разобраться в её значении, нужно отойти от привычных русских словообразовательных моделей. Всё указывает на то, что в основе лежит личное имя Азбай. Оно составное: «аз» (мало, немного, а в именах часто — «младший», «малый») и «бай» (господин, богач, хозяин). В тюркской ономастике имена с компонентом «бай» — Бекбай, Уразбай, Карабай — были распространены повсеместно, и Азбай здесь не исключение. Скорее всего, так называли младшего сына, вкладывая в имя пожелание достатка и статуса: «маленький господин» или «младший богач».

Русский суффикс -ев (вариант -ов после мягких и шипящих) присоединили к основе при оформлении фамилии по русскому образцу. Так Азбай превратился в Азбаева — «сын Азбая» или «потомок Азбая». Такая модель типична для регионов, где тюркские народы долго жили в соседстве с русскими, и фамилию записывали в метрики, русифицируя отчество или родовое прозвище.

Географически фамилия тяготеет к Башкортостану, Татарстану, Оренбургской области — местам, где у башкир и татар фамилии на -ев от имён с «бай» обычное дело. В дореволюционных документах могли писать через «ять» или с искажениями, но корень оставался тем же. Ударение, скорее всего, падает на последний слог, как у многих тюркских фамилий.

Менее вероятная версия — связь с осетинским словом «аз» (год), но такое объяснение выглядит натянутым и не опирается на типичную модель имяобразования. Тюркская версия и проще, и логичнее: она объясняет и состав имени, и способ появления фамилии. Носителей фамилии немного, она не попала в широкие исторические хроники, но в локальных переписях и метрических книгах Поволжья и Приуралья её можно встретить.