Фамилия Азерми — редкая и неочевидная с точки зрения русского словообразования. В ней нет привычных славянских суффиксов -ов, -ин или -ский, а корень не даёт мгновенной отсылки к профессии или имени. Это первый сигнал: перед нами, скорее всего, не исконно русская фамилия, а заимствованная или искусственно созданная в советское время.

Большинство носителей фамилии Азерми в России и странах бывшего СССР — это люди с корнями из Закавказья, прежде всего из Азербайджана. Самая прямая и логичная версия: фамилия образована от этнонима «азер» (азербайджанец) с помощью фамильного окончания -и, характерного для азербайджанской и вообще тюркской ономастики. В таком случае Азерми означает «принадлежащий к азербайджанцам» или «выходец из Азербайджана». Подобные фамилии (Грузини, Армяни, Лезги) нередко давали людям при переписях или в документах, чтобы указать национальность или регион происхождения.

Есть и менее вероятная, но допустимая версия: основа «азер» может восходить к тюркскому слову со значением «огонь» (ср. «азер» в некоторых тюркских языках — пламя). Тогда фамилия могла быть прозвищем человека с горячим, вспыльчивым характером или, что реже, связана с культом огня. Однако вторая версия уступает первой по распространённости: в официальных записях фамилия Азерми почти всегда встречается у людей, чьи предки происходили из Азербайджана или соседних регионов.

В русском языке фамилия склоняется по мужскому роду (Азерми, Азерми, Азерми) и не склоняется в женском. Встречается она крайне редко — в основном в Дагестане, Азербайджане и в среде азербайджанской диаспоры в Москве. Известных исторических личностей с такой фамилией нет, что говорит о её бытовом, а не аристократическом происхождении.