Фамилия Азерская образована по типичной для славянских фамилий модели: основа плюс суффикс -ск-, за которым следует окончание -ая. Этот суффикс, как правило, указывает на связь с географическим названием — селом, рекой, местностью. Так что Азерская — это «та, что из Азер» или «та, что родом из Азерска». Но вот загвоздка: топоним Азерск или Азеры в современной России не встречается. Однако это не значит, что его не существовало в прошлом. В польской и белорусской ономастике есть фамилии типа Азерский, и они восходят к названиям деревень Азеры (например, в Подляшье или на Гродненщине). В русском контексте фамилия могла возникнуть от прозвища Азер — так могли называть выходца из Азербайджана (от старого названия «Азербайджан»), но это менее вероятно для женской формы на -ская, которая почти всегда топонимическая.

Вторая версия, более редкая и спорная, — от тюркского корня «азер» (огонь). В таком случае фамилия могла бы быть связана с прозвищем-оберегом или даже с профессией, но это уже область догадок, не подкреплённых надёжными источниками. Важно, что суффикс -ск- в русских фамилиях чаще всего дворянский или священнический, но в XIX веке он стал массово присваиваться крестьянам при переписях, если они жили в селе с похожим названием.

Поскольку фамилия Азерская — редкая, её носители, скорее всего, происходят из одной локальной группы, где было село Азеры или урочище Азер. Искать корни стоит в западных регионах бывшей Российской империи — на границе современной Беларуси и Польши, а также в южных губерниях, где могла быть своя топонимика с этим корнем. В любом случае, фамилия звучит как «географическая», и предки её носительницы, вероятно, получили её по месту жительства или приписки.