Фамилия Азарская — это женская форма фамилии Азарский, и её история начинается с мужского имени Азар. Чаще всего Азар — это сокращённая, народная форма церковного имени Азария (или Азарий). В переводе с древнееврейского Азария означает «помощь Божья». Такое имя давали при крещении, а в быту его могли сокращать до простого и звучного Азар.

Менее распространённая, но возможная версия связывает основу с восточными корнями. По этой гипотезе, имя Азар могло произойти от персидского слова «азер» — «огонь». В таком случае прозвище или имя могло указывать на горячий, вспыльчивый характер или на занятие, связанное с огнём (например, кузнечное дело). Однако эта версия уступает первой по вероятности, поскольку фамилия органичнее вписывается в православную традицию.

Суффикс -ский — важная деталь. В русской ономастике фамилии на -ский/-ская чаще всего имеют польское, украинское или белорусское происхождение. В отличие от массовых русских фамилий на -ов/-ев, такие фамилии нередко указывали на принадлежность к шляхте, духовенству или просто на географическое название (по месту жительства). В случае с Азарскими суффикс подсказывает, что фамилия сложилась, скорее всего, на западнорусских или украинских землях.

Таким образом, предок носительницы фамилии Азарская был человеком по имени Азар (крестильное Азария), а его потомки закрепили за собой фамилию по модели, характерной для украинской или польской традиции.