Фамилия Азаров произошла от мирского имени Азар. В древнерусской традиции мирские имена часто давали в дополнение к крестильному, и Азар — одно из таких имён. Его происхождение спорно: большинство исследователей связывают его с библейским Азарией (в переводе с древнееврейского — «помощь Яхве»), но в народной среде имя могло переосмысляться и через тюркские языки, где схожие корни означали «уважаемый, почтенный». Какая версия правдоподобнее — сказать сложно, обе имеют право на существование, но библейская традиция для русских фамилий более типична.

Сама фамилия образована по стандартной восточнославянской модели: к основе Азар- добавился патронимический суффикс -ов, указывающий на принадлежность («сын Азара»). Так что первый носитель фамилии, скорее всего, был сыном человека по имени Азар.

Наиболее подробные сведения сохранились о дворянском роде Азаровых, связанном с Рязанской губернией. Этот род вёл начало от Ивана Исаевича Азарова, упомянутого в документах 1676 года. Примечательная деталь: первоначально фамилия выглядела как двойная — Азаровы-Храповы (в старину писались также через «о»: Озаровы). Впоследствии ветви рода разделились, и часть потомков осталась просто Азаровыми, другая — Храповыми. Рязанские Азаровы-Храповы были записаны в VI часть родословной книги Рязанской губернии — это означало принадлежность к древнему дворянству, чьё происхождение подтверждалось документами до 1685 года.

Однако не все Азаровы — потомки рязанских дворян. В крестьянской и мещанской среде фамилия тоже встречалась, и её носители могли быть просто потомками человека с мирским именем Азар, без связи с дворянским родом. География фамилии широка: она встречается и в центральных губерниях, и на юге России, и в Поволжье, что говорит о её самостоятельном возникновении в разных местах.