Фамилия Азаровский образована по типичной восточнославянской модели с суффиксом -ский, который изначально указывал на принадлежность к местности или владельцу. Чаще всего такие фамилии получали дворяне по названию своего поместья, а позже — и выходцы из сёл и деревень. Поэтому первое, что приходит на ум: родоначальник Азаровских мог быть родом из населённого пункта с основой «Азаров» — например, из Азарова, Азаровки или Азаровского. Такие топонимы встречаются в России и Украине, и фамилия закреплялась за человеком, который переселился оттуда: «Азаровский» буквально значило «тот, кто из Азарова».

Однако есть и другая версия, не менее весомая. В основе фамилии может лежать личное имя Азарий (Азария) — древнееврейского происхождения, означающее «помощь Яхве» или «Бог помог». В православных святцах почитаются несколько святых с этим именем, в том числе пророк Азария и праведный Азария. От имени Азарий через обиходную форму Азар (по аналогии с Лазарь — Лазар) и появилась фамилия Азаров, а уже от неё, с помощью того же суффикса -ский, — Азаровский. Такая модель характерна для фамилий, которые сначала закрепились за крестьянами или мещанами, а затем, при переходе в иное сословие, «удлинялись» добавлением -ский, придававшим звучанию более «благородный» оттенок.

Таким образом, Азаровский — фамилия с двойным корнем: либо географическим (по названию места), либо антропонимическим (от имени Азарий). Обе версии имеют право на существование, и окончательный ответ зависит от конкретной семейной истории. В любом случае, фамилия эта — не самая частая, и её носители, скорее всего, происходят из одного или нескольких локальных гнёзд в центральной России или на украинских землях.