Фамилия Азаревич образована по типичной для украинской и белорусской ономастики модели — с помощью суффикса -евич. Этот суффикс указывает на происхождение от отца или предка: «Азаревич» буквально значит «сын Азара» или «потомок Азара». В восточнославянской традиции фамилии на -евич (и -ович) особенно распространены в Беларуси, на западе Украины и в некоторых районах Польши, где жило православное и униатское население. Если бы фамилия возникла в Великороссии, скорее всего, она приняла бы форму «Азаров» (с суффиксом принадлежности). Форма «Азаревич» — верный признак того, что предки носителя фамилии происходили из западнорусских земель.

Основа фамилии — каноническое имя Азар. В русской православной традиции оно известно как сокращённая форма от имени Азария (древнееврейское Azaryahu — «помощь Яхве», то есть «Бог помог»). Однако в народном обиходе имя Азар могло бытовать и как самостоятельное, благо звучало оно звучно и лаконично. Любопытно, что в средние века на Руси имя Азар нередко путали со словом «азарт» (от французского hasard — случай, риск), но это позднее, книжное сближение, не имеющее отношения к происхождению фамилии. На деле носитель имени Азар мог быть человеком глубоко верующим — имя библейское, церковное.

Встречается также версия, что фамилия могла возникнуть от прозвища Азар — так в южнорусских говорах иногда называли горячего, вспыльчивого человека (от того же «азарта»). Но для фамилии с суффиксом -евич более убедительным выглядит происхождение от крестильного имени: патронимические фамилии на -евич в XVI–XVII веках давали прежде всего по имени отца, а не по прозвищу.

Таким образом, предки современных Азаревичей — это люди, чьего отца или деда звали Азар. Жили они, скорее всего, на территории современной Беларуси или Западной Украины, в среде, где фамилии на -евич были нормой. Сословно это могли быть крестьяне, мещане или мелкая шляхта — в Речи Посполитой фамилии такой модели носили и простые люди, и дворяне, так что однозначно определить социальный статус по одному суффиксу нельзя. Сама фамилия фиксируется в исторических документах с XVIII века, преимущественно в Гродненской, Минской и Волынской губерниях.