Фамилия Азарко образована от мирского имени Азарка — так в старину могли назвать человека, не крестильным именем, а домашним, бытовым прозвищем. В основе этого имени лежит, скорее всего, корень «азар» — в южнорусских и украинских говорах так называли задорного, горячего, вспыльчивого человека, того, кто «с азартом» берётся за любое дело. Встречается и другая версия: Азарка — это народная форма канонического имени Азарий (древнееврейское «помощь Божья»), но в случае с фамилией Азарко более правдоподобно именно прозвищное происхождение, потому что суффикс -к- в основе указывает на уменьшительно-ласкательную или бытовую форму.

Сама фамилия построена по распространённой в Беларуси и на западе Украины модели: к основе на -к- добавляется типичный для этих земель суффикс -о, который выполняет роль притяжательного падежа. Если в великорусских регионах сказали бы «Азаркин» (чей? — сын Азарки), то в белорусской и украинской традиции закрепилась форма Азарко. Это характерная черта фамилий, оформившихся в среде, где преобладала не московская, а западнорусская канцелярская традиция.

Географически фамилия Азарко чаще всего встречается в Беларуси, особенно в Гомельской и Могилёвской областях, а также в приграничных районах Украины. В России её носители — это, как правило, потомки переселенцев из этих земель. Социальный состав предков мог быть разным: от крестьян и казаков до мещан, поскольку мирские имена были распространены во всех сословиях, не только в низших.

Таким образом, человек с фамилией Азарко, скорее всего, ведёт свой род от предка, которого за живой, увлекающийся нрав прозвали Азаркой — «горячей головой», а сыновей и внуков уже стали записывать как Азарко.