Фамилия Азаренко — типичный пример украинской модели фамилий на -енко, которая буквально означает «сын такого-то». В основе лежит крестильное имя Азар, сокращённая форма от канонического Азарий. Имя древнееврейского происхождения, в переводе — «помощь Божья». Таким образом, первый носитель фамилии был, скорее всего, сыном человека по имени Азар.

Суффикс -енко в украинской ономастике выполнял ту же роль, что русские -ов/-ев или -ин, но исторически закрепился в среде казачества и мещанства Поднепровья, а затем распространился по всей Украине. Фамилия Азаренко могла возникнуть в любой местности, где бытовало имя Азар, но её ареал в основном совпадает с центральными и восточными областями Украины.

Интересно, что имя Азарий и его производные в народной среде нередко сближали со словом «азарт» или даже со словом «заря», хотя этимологически это разные корни. Такое народное переосмысление могло влиять на прозвища, но сама фамилия Азаренко строго восходит к имени, а не к нарицательным словам.

В написании фамилии встречаются варианты: Азаренко, реже Азарeнко с ударением на второй слог. В русском языке фамилию не склоняют, если она принадлежит женщине, и склоняют по падежам, если речь о мужчине.