Фамилия Азарины — одна из тех, что хранят в себе древнее личное имя, вышедшее из обихода. Её основа — мирское имя Азар. В русской традиции дохристианские имена нередко сосуществовали с крестильными, и имя Азар, по всей видимости, восходит к древнееврейскому Азария («помощь Бога»), которое в упрощённой народной форме и закрепилось в быту.

Фамилия образована по стандартной для восточных славян модели: к основе на твёрдый согласный прибавили суффикс принадлежности -ин. В древнерусском языке суффикс -ин указывал на прямую связь с отцом: «чей?» — Азарин, то есть сын Азара. Такая словообразовательная схема характерна для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин встречаются особенно часто.

Сложно сказать, когда именно фамилия закрепилась в документах: процесс становления родовых имён длился несколько столетий, и Азарины, как и многие другие, могли долго обходиться без фамилии в современном смысле. Ясно одно: предки носителей этой фамилии звались Азарами — людьми, чьё имя в быту звучало не как церковное, а как привычное, домашнее.

В отличие от более поздних фамилий, образованных от прозвищ по профессии или внешности, Азарины принадлежат к древнейшему пласту — патронимическому. Это значит, что родоначальник фамилии не был ни ремесленником, ни помещиком, а просто человеком по имени Азар, оставившим о себе память в имени своих детей.