Фамилия Азарский — типичный пример модели, по которой в русской традиции образовывали фамилии от полных или производных форм крестильных имён. В основе здесь лежит имя Азар — сокращённый, разговорный вариант церковного имени Азария (или Азарий). С древнееврейского это имя переводится как «помощь Божья». Именно этот путь — от канонического имени через его обиходную форму к фамилии — самый прямой и объяснимый.

Суффикс -ский указывает на то, что фамилия складывалась либо в среде польской шляхты, либо у русских дворян и духовенства, либо у украинской и белорусской знати. В крестьянской среде такие фамилии встречаются реже. Владелец фамилии Азарский, скорее всего, был потомком человека по имени Азар, а сама фамилия могла закрепиться за его детьми или домочадцами как указание на родство.

Существует и другая версия, менее вероятная, но имеющая право на упоминание. Слово «азар» может восходить к персидскому «азер» — «огонь». В этом случае фамилия могла бы иметь восточные корни, связанные с тюркскими или иранскими влияниями. Однако для славянской ономастики гораздо естественнее объяснение через христианское имя: Азария — одно из распространённых ветхозаветных имён, которое давали при крещении. Поэтому версия с «огнём» остаётся экзотической гипотезой, не подкреплённой массовым бытованием фамилии в восточных регионах.

Фамилия Азарский встречается нечасто. Она редкая, что типично для фамилий, образованных от имён, не вошедших в широкий обиход в XX веке. Поскольку имя Азария в советское время почти вышло из употребления, носителей фамилии осталось немного, и географически она разбросана — от западных областей России до Сибири.