Фамилия Азаровская образована по самой распространённой в славянском мире модели — от географического названия с помощью суффикса -ск- (-цк-). Исходное имя могло звучать как Азаров, Азарово, Азаровка — такие топонимы встречаются в разных областях России, Украины и Беларуси. В этом случае фамилия указывала на выходца из конкретной местности: «Азаровский» — тот, кто родом из Азарова или Азаровки.

Но у фамилии есть и другая, не менее вероятная версия. Её основа — личное имя Азарий (в просторечии Азар), которое восходит к древнееврейскому Азария — «помощь Господа» или «Яхве помог». В православных святцах имя носили несколько святых: пророк Азария и праведный Азария, один из трёх отроков в печи вавилонской. От канонического Азария в русской традиции пошли уменьшительные формы Азар, Азарка, а от них — фамилии Азаров, Азаркин, Азаровский. Суффикс -овск- в этом случае выполняет роль притяжательного: Азаровский — буквально «принадлежащий Азару», «из рода Азара».

Обе версии не противоречат друг другу. В разных семьях фамилия могла возникнуть независимо: где-то — от прозвища по имени предка, где-то — по названию деревни. Интересно, что написание через «а» в корне — не ошибка, а отражение акающего произношения: в говорах имя Азарий звучало как Азар, а не Озар. Поэтому фамилия Азаровская — не вариант фамилии Озаровская, а самостоятельная форма, закрепившаяся в письменности именно в таком виде.

Встречается фамилия преимущественно в западных и центральных регионах России, а также в Беларуси. Сословной принадлежности у неё нет: Азаровские могли быть и крестьянами, и мещанами, и дворянами. В дворянских родословных книгах эта фамилия не значится среди столбовых, но отдельные ветви могли получить личное дворянство по выслуге.