Фамилия Азюк — редкий случай, когда суффикс -юк не выдает украинца. Вопреки стереотипу, который связывает такие фамилии с Западной Украиной (сравните Мельничук, Ковальчук), ареал Азюка совсем другой: стык Беларуси и Смоленщины. В дореволюционных записях фамилия плотно сидит в Могилевской и Витебской губерниях. Это сразу меняет подход: перед нами белорусская или западнорусская фамилия, где суффикс -юк выполняет ту же роль, что и -енок/-онок в северных говорах, — указывает на сына, потомка или молодого человека.

Основа фамилии — Аз. Это усеченная форма крестильного имени. Канонических имен на «Аз» нет, но в народной речи так сокращали Азария (библейское имя, означающее «помощь Божья»), реже — Азата (армянское, но встречается в православных святцах). В белорусских и псковских говорах Азарий легко превращался в Аз, а от него — Азюк, то есть «маленький Аз» или «сын Аза». Версия с прозвищем Аз слабее: в диалектах «аз» — первая буква алфавита, и так могли назвать грамотея или, наоборот, того, кто учился «с азов». Но на Смоленщине и в Витебской губернии фамилии от сокращенных форм крестильных имен — обычное дело, поэтому версия с именем надежнее.

География подтверждает социальный контекст. Предки носителя фамилии были, скорее всего, крестьянами или мещанами: в дворянской среде такие «простые» суффиксы не приживались. Интересно, что в той же местности встречаются параллельные формы: Азёнок, Азович, Азюта — все от того же корня. Азюк стоит в ряду однокоренных фамилий, образованных по разным моделям, но от одного источника — имени Азарий.

Написание фамилии устойчивое, без вариантов вроде Азюк/Азюкк, что редкость для столь коротких основ. Ударение, судя по говорам, падает на последний слог — Азю́к, хотя в современной городской среде нередко смещается на первый. В польской ономастике есть фамилия Azuk, но она единична и связана с переселенцами с востока.