Фамилия Азюк — редкий пример, когда суффикс -юк указывает не на украинское происхождение, а на гораздо более узкий ареал. Если большинство фамилий на -юк (Мельничук, Ковальчук) — типичные для Западной Украины, то Азюк встречается в основном на стыке Беларуси и Смоленщины, что сразу настораживает. Скорее всего, мы имеем дело с белорусской или западнорусской фамилией, где суффикс -юк выполняет ту же функцию, что и -енок или -онок в северных говорах: обозначает сына, потомка или молодого человека.

Основа фамилии — Аз — это усеченная форма крестильного имени. Канонических имен на «Аз» нет, но в народной речи так сокращали Азария (библейское имя, означающее «помощь Божья»), реже — Азата (армянское, но в православных святцах встречается). В белорусских и псковских говорах имя Азарий легко превращалось в Аз, а от него — Азюк, то есть «маленький Аз» или «сын Аза». Вторая возможная основа — прозвище Аз, но здесь сложнее: в диалектах «аз» — это первая буква алфавита, и прозвище могли дать грамотею или, наоборот, тому, кто учился «с азов». Однако версия с именем выглядит надежнее: на Смоленщине и в Витебской губернии фамилии от сокращенных форм крестильных имен — обычное дело.

География подсказывает еще одну деталь. В польской ономастике есть фамилия Azuk, но она единична и связана с переселенцами с востока. А вот Азюк в дореволюционных записях плотно сидит в Могилевской и Витебской губерниях. Это говорит о том, что предки носителя фамилии были, скорее всего, крестьянами или мещанами — в дворянской среде такие «простые» суффиксы не приживались. Интересно, что в той же местности встречаются параллельные формы: Азёнок, Азович, Азюта — все от того же корня. Азюк, таким образом, стоит в ряду однокоренных фамилий, образованных по разным моделям, но от одного источника — имени Азарий.

Написание фамилии устойчивое, без вариантов вроде Азюк/Азюкк, что редкость для столь коротких основ. Ударение, судя по говорам, падает на последний слог — Азю́к, хотя в современной городской среде нередко смещается на первый.