Фамилия Азюкова — это женская форма от Азюков, а та образована от мужского имени или прозвища Азюк. Самое прямое и правдоподобное объяснение — тюркское. В основе лежит тюркское слово «азык» или «азук», то есть «еда, провизия, продовольствие». В переносном смысле так могли прозвать человека, который был кормильцем, заведовал запасами, или, наоборот, любителя хорошо поесть. В татарском и башкирском языках «азык» — именно пища, и фамилия Азюков (Азюкова) и сегодня встречается в среде татар и башкир, что подтверждает эту версию без натяжек.

Менее вероятная гипотеза — происхождение от крестильного имени Азарий (древнееврейское «помощь Божья»). В народной речи Азарий мог сократиться до Азя, а затем, с добавлением тюркского уменьшительного суффикса -юк (как в именах Анюк, Ванюк), превратиться в Азюк. Но эта цепочка сложнее, а тюркская версия лежит на поверхности и не требует дополнительных построений.

Модель образования фамилии типична для русского Поволжья и Приуралья: к основе на -юк присоединили русский патронимический суффикс -ов. Получается «сын Азюка». Суффикс -юк в русских фамилиях встречается нечасто, он характерен скорее для украинских и белорусских фамилий (Шевчук, Ковальчук), но в данном случае он, скорее всего, отражает именно тюркскую уменьшительную или ласкательную форму.

Географически фамилия Азюкова и её мужской вариант Азюков привязаны к регионам с компактным проживанием татар и башкир: Татарстан, Башкортостан, Оренбургская и Челябинская области. Встречается она и у русских, но, вероятно, как следствие смешанных браков или давней тюркской основы.

Никаких документальных подтверждений о знатном происхождении или принадлежности к конкретному сословию у этой фамилии нет — это рядовая, бытовая ономастическая модель, каких тысячи. Предки современных носительниц фамилии Азюкова, скорее всего, жили в тюркоязычной среде, и их родоначальник получил прозвище, связанное с едой или пропитанием.