Фамилия Азюковский — редкий случай, когда географическая основа почти наверняка перевешивает личную. Суффикс -ский указывает на происхождение от названия места: такую фамилию обычно получал либо помещик по имени своего имения, либо человек, переселившийся из села или деревни с похожим названием. В данном случае исходным пунктом мог быть населённый пункт вроде Азюково, Азюковка или Азюковичи.

С корнем сложнее. В нём слышится тюркское или монгольское «азюк» (вариант «азык», «азук») — в ряде тюркских языков это слово означает «пища», «продовольствие», «съестные припасы». Человек мог получить прозвище Азюк (сытый, запасливый, либо, наоборот, охочий до еды), а его потомки, перебравшись в другую местность, стали Азюковскими — то есть «выходцами из села, где жил Азюк». Вторая версия, менее вероятная, но допустимая: фамилия могла образоваться напрямую от прозвища без топонима, по модели «чей?» — Азюковский, то есть «сын или слуга Азюка». Однако суффикс -ский в русской традиции прочнее привязан к географии, чем к отчеству.

Обратите внимание на окончание -овский, а не просто -ский. Это типично для фамилий, образованных от названий на -ово или -овка. Сравните: Ивановский (от Иваново), Петровский (от Петровка). Значит, базовое название скорее всего звучало как Азюково или Азюковка. Такие топонимы встречаются на территории бывшего Дикого Поля и южных губерний Российской империи — в зоне активных тюркско-славянских контактов (современные Украина, юг России, Беларусь). Фамилия Азюковский, скорее всего, оформилась в среде мелкопоместного дворянства или однодворцев — людей, владевших землёй и крестьянами в таком имении, либо крестьян, записанных по месту выхода.

Сведений о точном расположении села Азюково в открытых источниках мало, но модель образования фамилии надёжная. Если вы встретили Азюковского в современных списках — с высокой вероятностью его предки жили в чернозёмной полосе или на Слобожанщине.