Фамилия Азюкина — женская форма мужской фамилии Азюкин. Её происхождение напрямую связано с неканоническим именем или прозвищем Азюка, которое в свою очередь восходит к тюркскому корню «аз» — «мало, малочисленный», либо к диалектному русскому слову «азюк» — так в некоторых говорах называли упрямого, несговорчивого человека. В пользу тюркской версии говорит характерный суффикс -юк (ср. Билюк, Казюк), указывающий на уменьшительно-уничижительную форму имени. Фамилия образована по древнейшей русской модели с суффиксом -ин, означающим принадлежность: «чей?» — Азюкин, то есть сын или потомок Азюки.

География фамилии узкая. Основной ареал — Поволжье, особенно Татарстан и соседние области. Это не случайно: именно в зоне длительного русско-тюркского контакта чаще всего возникали фамилии с такой основой. Азюка могло быть прозвищем, данным татарину или мордвину, переселившемуся в русскую среду, либо русскому, перенявшему тюркское прозвище.

В документах XVII века встречаются однокоренные фамилии — Азюковы, Азютины. Все они восходят к одному гнезду личных имён на «Аз-». Интересно, что фамилия Азюкина почти не встречается за пределами бывшей Казанской губернии — это маркер локального происхождения. В отличие от массовых фамилий на -ов, модель на -ин в данном случае не указывает на социальный статус: Азюкиными могли быть и крестьяне, и служилые люди по прибору (стрельцы, пушкари), несшие сторожевую службу на юго-восточных рубежах.

Спорных версий немного. Иногда основу связывают с греческим именем Аза (Αζα), но это маловероятно: суффикс -юк нехарактерен для греческих заимствований. Правдоподобнее всего — тюркское прозвище, которое в русском быту переосмыслили как личное имя. Носительница фамилии Азюкина может считать, что её предки жили в зоне этнического пограничья и, скорее всего, имели дело с лошадьми или скотом — «азюками» в тюркских диалектах иногда называли жеребят-двухлеток.