Фамилия Азюкина — женская форма мужской фамилии Азюкин, и её происхождение ведёт к неканоническому имени или прозвищу Азюка. Самое правдоподобное объяснение — тюркский корень «аз», означающий «мало, малочисленный». Суффикс -юк (сравните: Билюк, Казюк) в тюркских именах часто придавал уменьшительный или уничижительный оттенок. Однако есть и русская диалектная версия: в некоторых говорах «азюком» называли упрямого, несговорчивого человека. Какая из них верна — вопрос ареала: фамилия почти не встречается за пределами Поволжья, особенно Татарстана и соседних областей. Это зона длительного русско-тюркского контакта, где прозвище Азюка могли дать и татарину, переселившемуся в русскую среду, и русскому, перенявшему тюркское прозвище.

Фамилия образована по древнейшей русской модели с суффиксом -ин, означающим принадлежность: «чей?» — Азюкин, то есть сын или потомок Азюки. В отличие от массовых фамилий на -ов, модель на -ин здесь не указывает на социальный статус: Азюкиными могли быть и крестьяне, и служилые люди по прибору (стрельцы, пушкари), нёсшие сторожевую службу на юго-восточных рубежах. В документах XVII века встречаются однокоренные фамилии — Азюковы, Азютины, все они восходят к одному гнезду личных имён на «Аз-». Спорных версий немного: иногда основу связывают с греческим именем Аза (Αζα), но суффикс -юк нехарактерен для греческих заимствований, поэтому эта гипотеза маловероятна.

Интересная деталь: в тюркских диалектах «азюками» иногда называли жеребят-двухлеток. Если предки носительницы фамилии жили в зоне этнического пограничья, они могли иметь дело с лошадьми или скотом. Но это лишь одно из возможных значений — прозвище могло закрепиться и по другим причинам. Главный маркер фамилии — её узкая география: она почти не встречается за пределами бывшей Казанской губернии, что делает её локальным свидетельством русско-тюркского смешения.