Фамилия Бабару — редкая и, скорее всего, нерусская по происхождению. Её звуковой облик и окончание не характерны для типичных русских фамильных моделей на -ов, -ин или -ский. С высокой вероятностью, это фамилия румынского или молдавского происхождения. В румынском языке слово "băbar" (или "băbaru") имеет несколько значений, одно из которых — «дурак», «простак», «недотепа». В этом случае фамилия образовалась от прозвища, которое давали человеку с определёнными чертами характера или поведения.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркскими языками. В некоторых тюркских наречиях «баба» означает «отец», «дед», «предок», а также «уважаемый старец». Суффикс -ру мог быть адаптирован при переходе фамилии в другую языковую среду. Однако окончание «-у» в фамилии Бабару чаще встречается именно в румынском ареале (сравните: фамилии Караджале, Крецу, Кодряну). В пользу тюркской версии говорит широкая распространённость корня «баба» в фамилиях народов Кавказа и Поволжья (Бабаев, Бабаян, Бабаскин), но форма Бабару для них нетипична.

Географически фамилия могла закрепиться на юго-западе Российской империи — в Бессарабии (современная Молдова и Одесская область Украины), где веками жили румыноязычные общины. Встречается она и среди гагаузов (тюркоязычный народ, исповедующий православие), что делает возможным смешение обеих версий.

Словообразовательно фамилия не имеет русского суффикса, поэтому её не склоняют по падежам в русском языке (Бабару, к Бабару, с Бабару). Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в документах начала XX века, связанных с переселенцами из Бессарабской губернии или с гагаузскими сёлами. В любом случае, фамилия Бабару — яркий пример того, как прозвище (пусть и нелестное) или уважительное обращение к старшему превратилось в семейное имя, которое пронесло свою историю через поколения.