Фамилия Бабровская — женская форма фамилии Бабровский, и её разумнее всего рассматривать в паре. Основа здесь — «бабр», слово, которое в русских говорах значило «тигр» или «барс». В Сибири, особенно в Иркутске, это слово было настолько ходовым, что попало даже в герб города: на нём — бабр, несущий соболя в зубах. Но есть нюанс: в XIX веке чиновники, не знавшие сибирского диалекта, перепутали «бабра» с «бобром», и на гербе появился странный зверь — бобр с кошачьими лапами. Так что фамилия Бабровский могла возникнуть и у охотника на тигров, и у человека с прозвищем Бабр — сильного, хищного, опасного.

Словообразовательная модель — суффикс -овск-/-евск-, типичный для польских и западнорусских фамилий. В польском языке «bóbr» — это бобр, и фамилия Bobrowski (Бобровский) встречается часто. Но русская Бабровская — это не ошибка, а диалектный вариант: «бабр» и «бобр» в народной речи могли смешиваться, особенно в регионах, где водились и бобры, и хищные кошки. Поэтому возможны две версии происхождения: первая — от прозвища Бабр (тигр), вторая — от прозвища Бабр (бобр), которое давали ловкому, трудолюбивому или богатому мехом человеку. Обе версии равноправны, и выбрать одну без знания конкретной семейной истории невозможно.

Географически фамилия тяготеет к западным и южным регионам бывшей Речи Посполитой — Беларуси, Украине, Польше. В России она встречается реже, но если и встречается, то часто в семьях, переселившихся из этих земель. Сословно Бабровские могли быть и шляхтой (польская фамилия на -ский часто указывала на дворянство), и мещанами, и крестьянами — суффикс не даёт однозначного ответа.

Если сравнивать с однокоренными: Бобровский — это «литературная» форма, а Бабровский — народная, диалектная. В документах XVIII–XIX веков можно встретить одно и то же лицо, записанное то как Бобровский, то как Бабровский — из-за «аканья» (произношения «о» как «а»). Так что носителям фамилии стоит иметь в виду: их предки могли писаться по-разному, и поиск в архивах нужно вести с учётом обоих вариантов.