Фамилия Баденкин образована по простой и распространённой модели: от прозвища или имени Баденя с помощью патронимического суффикса -ин. Суффикс -ин в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — сын Бадени. Менее типичный суффикс -енк- (Баденк-ин) здесь, скорее всего, результат фонетического изменения: исходная основа могла звучать как Баденя, а в разговорной речи через промежуточную форму Баденька превратилась в Баденка, откуда и пошла фамилия.

Корень баден- может восходить к нескольким источникам. Самая прямая версия — от диалектного слова «баденя» или «баденька»: в некоторых русских говорах так ласково называли бадью, кадку или ушат. Прозвище Баденя могли дать бондарю, изготовлявшему такие ёмкости, либо полному, коренастому человеку, которого в шутку сравнивали с кадушкой. Вторая версия — от крестильного имени Вадим: в народной речи имя нередко сокращали до Бадя, Баденя, а фамилия Баденкин оказывается «внучатой» формой от уменьшительного имени. Третья, менее вероятная, связь — с немецкой фамилией Баден (по земле Баден) через западное влияние, но для крестьянской среды центральной России это маловероятно.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в Пензенской, Тамбовской и Рязанской областях. Это указывает на корни в южнорусском или среднерусском регионе, где слово «баденя» было в ходу. В этих краях фамилия могла закрепиться за потомками бондарей или зажиточных крестьян, получивших прозвище по хозяйственной утвари.

С точки зрения социального статуса, Баденкины — почти наверняка крестьянская фамилия, не дворянская. Суффикс -ин типичен для фамилий простонародья, особенно в тех губерниях, где преобладали «ины» над «овыми». Документальных подтверждений древнего дворянского рода Баденкиных нет, и в справочниках титулованных фамилий она не значится.

Однокоренные фамилии — Баденков, Баденко, Баденев — встречаются ещё реже и могут быть украинскими вариантами с той же основой. Если ваш предок носил фамилию Баденкин, скорее всего, он был мастеровым человеком, бондарем, либо просто обладателем прозвища, данного за внешность или характер.