Фамилия Бадиул — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности, что сразу отличает её от типичных русских фамилий на -ов или -ин. Если вы её носитель, первое, что бросается в глаза: в фамилии нет славянского суффикса, который бы указывал на принадлежность («чей?»). Это значит, что перед нами, скорее всего, застывшая форма прозвища или имени, которое принесли в русскую среду извне.

Наиболее вероятная версия — тюркское или арабо-тюркское происхождение. Основа «Бади» восходит к арабскому имени Бади (Бадди, Бади’ — «удивительный», «прекрасный», «несравненный»). В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) это имя бытовало в разных огласовках. Окончание «-ул» — это, вероятно, арабский артикль «аль» или его стяжённая форма, означающая «из рода», «относящийся к». То есть Бадиул может означать «(человек) из рода Бади» или «принадлежащий Бади». Сравните с фамилиями Гарифуллин, Багаутдинов — там тот же принцип, но с русским суффиксом. Бадиул же сохранил исходную тюркскую или арабо-тюркскую форму без русификации.

Вторая, менее распространённая гипотеза — румынское или молдавское влияние. В румынском языке есть слово «badiu» (диалектное «дядя», «старший брат», а также обращение к старшему). В Молдавии и на юго-западе Украины встречаются фамилии Бадиу, Бадиул. Если ваши предки жили в Бессарабии или на Буковине, возможна именно эта версия: прозвище Бадиул («дядюшка», «старшой») закрепилось как фамилия.

Обратите внимание на географию. Фамилия Бадиул встречается в основном на юге России, в Краснодарском крае, Ростовской области, а также в Крыму. Это совпадает с районами, где исторически селились крымские татары, ногайцы, турки и греки. Также единичные носители есть в Молдавии и на Украине. Если вам известно, откуда родом ваша семья — из степного Причерноморья или из Бессарабии, — это сузит круг поиска.

С точки зрения социального статуса: фамилия не дворянская и не купеческая. Скорее всего, предки — крестьяне, ремесленники или мелкие торговцы, получившие фамилию по имени или прозвищу главы семьи. В метрических книгах XIX века такую фамилию могли записать как «Бадиулов» или «Бадиулин», но в документах советского времени уже закрепился краткий вариант Бадиул — без наращения. Это ещё одна деталь: фамилия прошла стадию усечения, что типично для нерусских фамилий при адаптации.

Итог: ищите корни либо в тюркском имени Бади с артиклем, либо в румынском прозвище. Первая версия надёжнее — она объясняет и имя, и модель словообразования, и географию. Точнее сказать можно только по конкретному региону ваших предков.