Фамилия Бадиу — редкий случай, когда русская по форме фамилия почти наверняка имеет нерусское происхождение. В ней нет славянских суффиксов (-ов, -ин, -ский), которые обычно подсказывают, от какого имени или прозвища пошёл род. Окончание на -у характерно для румынских и молдавских фамилий (сравните: Караджиу, Рошу, Якобу), и именно там, скорее всего, лежат корни этой фамилии.

В румынском языке суффикс -у часто указывает на принадлежность или происхождение. Основа «бад» может восходить к слову «bade» — так в народной речи обращались к старшему брату, уважаемому мужчине или хозяину. Соответственно, Бадиу могло означать «сын Баде» или «принадлежащий Баде», где Бадя — это прозвище или сокращённая форма какого-то имени (например, от Георге или Богдан). Есть и другая версия: в некоторых говорах «badiu» значило «плохой, дурной» — такое прозвище могли дать человеку с трудным характером или просто в шутку, как охранительное имя от сглаза.

На русской почве фамилия могла появиться в XIX веке вместе с переселенцами из Бессарабии (нынешняя Молдова и часть Одесской области). В документах её могли записать на слух, поэтому встречаются варианты Бадию, Бадиу, а иногда и Бадю. В отличие от большинства русских фамилий, она не склоняется по падежам, что тоже выдаёт её иноязычное происхождение.

Если ваши предки носили фамилию Бадиу, они с высокой вероятностью были выходцами из молдавской или румынской среды — крестьянами, ремесленниками или мелкими торговцами. Сословный состав здесь не угадать: среди носителей могли быть и вольные хлебопашцы, и бывшие крепостные, но точно не дворяне (румынская знать носила фамилии на -еску или -яну). Фамилия редкая, в современных российских справочниках почти не упоминается, что делает её особенной именно своей локальностью и непохожестью на типичный русский именослов.