Фамилия Бадий — редкий случай, где вопрос стоит не о суффиксе, а о самой основе. В русских фамилиях на -ий обычно выделяется окончание (как в Белый, Толстой), но здесь -ий входит в корень. Это сразу сужает круг поиска: фамилия не из массовых крестьянских прозвищ, а скорее из книжной, греческой или южнославянской среды.

Самая прямая версия — от греческого имени Вадий (Βάδιος), которое встречается в православных святцах. В русской традиции имя Вадий (от греч. «βάδιος» — «ходок», «идущий») давалось в честь мученика Вадия Персидского. Фонетически переход «Вадий» в «Бадий» объясним: в южнорусских и украинских говорах начальное «в» перед гласным могло озвончаться или заменяться на «б» (ср. фамилии Баженов от Важен, Барсуков от Варсук). Поэтому Бадий — это, скорее всего, искажённая форма канонического Вадий, которую закрепили в документах.

Вторая версия, менее вероятная, — от тюркского корня «бад» (باد), что значит «ветер» или «воздух». В таком случае фамилия могла быть прозвищем для быстрого, порывистого человека. Но эта гипотеза слабая: тюркские фамилии на -ий редки, и обычно они оформляются иначе (через -ов или -ев). К тому же в русских говорах слово «бадий» не фиксируется как нарицательное.

Есть и третья, совсем узкая версия: в некоторых диалектах «бадий» — это искажённое «бадей», то есть «бадья» (большое ведро). Прозвище могли дать бондарю или водовозу. Но это уже догадка без серьёзных лингвистических подтверждений.

Географически фамилия Бадий встречается в основном на западе и юге России: в Краснодарском крае, Ростовской области, а также в Беларуси и на Украине. Это косвенно подтверждает первую версию — греческие имена через церковные книги расходились именно в этих регионах, где сильна была православная традиция и где фонетические изменения («в» → «б») происходили чаще.

В сословном плане носители фамилии, судя по доступным данным, относились к мещанам и казачеству — то есть к свободным, но не знатным слоям. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Итог: если вы носите фамилию Бадий, ваши предки, вероятно, получили её при крещении по имени святого Вадия, а со временем буква «в» заменилась на «б» в устной речи и документах. Это редкий пример, когда церковное имя обросло местным говором, превратившись в уникальную фамилию.