Фамилия Бадай — одна из тех, где за простым звучанием скрывается несколько совершенно разных историй, и определить единственно верную непросто. Обычно фамилию выводят из прозвища, и здесь сразу возникает развилка. Первый вариант связывает прозвище со славянским корнем «бодать», «бодаться». В переносном смысле слово «бодаться» означало «упрямиться», «сопротивляться», так что Бадаем могли назвать человека, который всегда настаивал на своём и делал всё по-своему.

Вторая версия уводит нас в диалекты. В белорусском и украинском языках слово «бадай» (или «бодай») имеет значение «хоть бы», «чтобы», «пускай», а также «почти», «пожалуй», «наверное». Прозвище могли дать человеку флегматичному, склонному пускать дела на самотёк и надеяться на благоприятный исход. Либо же тому, кто часто колебался и вставлял в речь слово «бадай» в значении «пожалуй, наверное».

Есть и топонимическая версия. В Иркутской области, на реке Белой, стоит деревня Бадай. В документах она упоминается с 1682 года как вотчина Иркутского Вознесенского монастыря, а к 1774 году в ней насчитывалось 85 дворов с 644 жителями. Некоторые исследователи связывают этот топоним со словосочетанием «Бог дай». Вполне возможно, что основатель фамилии был выходцем из тех мест.

Самый неожиданный поворот — версия об охранительном имени. В славянской мифологии злого духа, который похищает детей, называли Бадаем, Бадяем или Бадяйкой. В фольклоре сохранилась присказка: «Идет дедко Бадай. / Уж как дедко Бадай / Кричит: «Ваню подай!»». По древнему обычаю, чтобы обмануть злые силы и отвести от ребёнка беду, родители могли нарочно назвать его таким пугающим именем. Считалось, что дух не тронет «своего».

Наконец, есть гипотеза о восточном происхождении. Фамилию Бадай могут связывать с мусульманским мужским именем Бади, которое в переводе с арабского означает «главный», «первый». Чаще всего так называли первенца.

Какая из этих версий правдоподобнее? Скорее всего, фамилия имеет славянские корни — либо прозвищные (от «бодаться» или диалектного «бадай»), либо охранительные. Топонимическая версия менее вероятна, так как фамилия встречается далеко за пределами Сибири. Восточная гипотеза тоже возможна, но требует подтверждения конкретными генеалогическими данными.