Фамилия Бадогин — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от фамилий на -ов, образованных от названий профессий или крестильных имён, здесь мы встречаем суффикс -ин, который указывает на принадлежность «сын такого-то» или «из семьи такого-то». Основа — Бадога.

Скорее всего, Бадога — это прозвище или нецерковное имя. Самый прямой путь ведёт к слову «бадог» (или «батог»), которое в русских говорах означало «палка», «посох», «трость», а также «дубина» или «колодка» для наказания. В старину батогами называли и орудие телесного наказания. Человек, получивший прозвище Бадога, мог быть либо суровым, прямым как палка, либо, наоборот, хромым, опирающимся на посох. Но есть и другая версия: в некоторых диалектах «бадог» — это часть ткацкого станка, деталь, с которой работали мастера. Тогда предок Бадогин мог быть ткачом или плотником, делавшим такие станки.

Вторая, менее очевидная гипотеза — связь с гидронимом. В бассейне Оки есть река Бадога, и житель по её берегам мог получить прозвище по месту жительства. Однако фамилии, образованные от названий рек, чаще встречаются в форме Бадогин, а не Бадогов, что как раз подтверждает суффикс принадлежности: «сын того, кто живёт на Бадоге».

Фамилия почти не встречается в центральных областях России, её очаги — в северных и северо-западных регионах, где слово «батог» было в ходу, а также в Поволжье. В дореволюционных переписях Бадогины фиксировались в основном среди крестьян и мещан. Никаких дворянских родов с такой фамилией не известно — это фамилия простого человека, чьё прозвище закрепилось за потомками.

Сравните с однокоренными: Батогов (от той же основы, но с другим суффиксом) и Бадожников (от «бадожник» — тот, кто делает батоги). Бадогин стоит особняком: он короче, архаичнее и, вероятно, старше по возрасту.