Фамилия Багатиков — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, не имеет ничего общего с богатством, несмотря на созвучие. Корень здесь не «богат-», а тюркское слово «багат» или «багатыр», которое в русском языке закрепилось как «богатырь». То есть первичное прозвище — Багатик — означало «силач», «могучий человек», «воин». Суффикс -ик в данном случае не уменьшительный, а скорее именной, характерный для прозвищ на южнорусских и украинских территориях (ср. Косатик, Молодик). Фамилия образована по стандартной патронимической модели: Багатик + -ов, то есть «сын Багатика».

В русских говорах встречается вариант «багат» — «богатство, достаток», но он малоупотребителен как личное прозвище. Куда вероятнее, что перед нами искажённое «богатырь»: в диалектах, особенно в казачьей среде, тюркские заимствования часто меняли звучание. Например, в донских говорах «багатырь» — обычная форма. Если предок носил такое прозвище, то он мог быть не только физически сильным, но и занимать выборную должность (атаман, есаул) — богатырей в народном сознании связывали с защитой и лидерством.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Поволжью. Ранние письменные упоминания встречаются в документах Войска Донского и Астраханской губернии. В центральных областях России фамилия редка — это дополнительный аргумент в пользу тюркского корня, а не славянского «богатый». Обратите внимание на ударение: в фамилии оно падает на второй слог (Бага́тиков), что тоже отличает её от однокоренных «богатых» фамилий.

Ближайшие «родственники» по словообразованию — Багатиков, Багатырёв, Богатырёв. Все они восходят к одному прототипу, но разошлись в написании из-за диалектного произношения. Если ваша фамилия записана через «а», то, скорее всего, предки жили в зоне активных тюркско-славянских контактов — на Дону, Кубани или в Нижнем Поволжье.