Фамилия Багауьдинов — редкий случай, когда написание сразу бросается в глаза и даёт ключ к разгадке. Мягкий знак в середине, перед «д», не характерен для русских фамилий, образованных от тюркских или арабских имён. Скорее всего, мы имеем дело с искажением при записи: исходная форма — Багаутдинов (или Багавутдинов). Мягкий знак мог появиться из-за особенностей произношения в каком-либо местном говоре или при неверной передаче фамилии в паспортном столе. Поэтому этимологию правильнее восстанавливать именно по варианту без «ь».

Основа фамилии — арабское мужское имя Бахауддин (или Багаутдин), которое состоит из двух частей: «баха» (красота, блеск, великолепие) и «дин» (вера, религия). Вместе имя означает «красота веры», «великолепие религии». Это теофорное имя, то есть прославляющее ислам, и оно очень распространено у народов, исповедующих ислам: у татар, башкир, чеченцев, ингушей, народов Дагестана.

Модель образования проста: к имени Багаутдин добавили русский патронимический суффикс -ов, который в Поволжье и на Кавказе стал стандартным способом русификации фамилий. Фамилия Багаутдинов значит «потомок Багаутдина». Встречаются и родственные варианты: Багаутдинов, Багавдинов, Багаудинов — все они восходят к одному источнику, но различаются местными диалектными произношениями.

Вероятнее всего, предки носителя фамилии были мусульманами из татарской или кавказской среды. Сословно это могли быть крестьяне, ремесленники, позже — купцы и духовные лица (муллы), так как имя Багаутдин часто давали в семьях, связанных с религией. Фамилия не относится к древним дворянским, но и не крепостная — её получили в XIX — начале XX века при массовой фиксации фамилий у нерусских народов Российской империи.

Если вы носите фамилию именно в написании «Багауьдинов», стоит проверить архивные документы: в метрических книгах мечетей или ревизских сказках ваша фамилия почти наверняка записана без мягкого знака, как Багаутдинов. Это не ошибка, а особенность бытовой письменной традиции, которая закрепилась в документах.