Фамилия Багазей — это адаптированный русский вариант украинской фамилии Багазий. Чтобы понять её значение, нужно разобрать слово по составу: компонент -ий в украинском языке — это типичное окончание прилагательного. То есть Багазий буквально означает «относящийся к Багазу» или «принадлежащий Багазу». Соответственно, в основе лежит прозвище Багаз.

Само прозвище Багаз восходит к польскому слову bagaż, что значит «багаж, пожитки, вещи, имущество, дорожная кладь». Скорее всего, так прозвали человека, который постоянно ходил с багажом, — путешественника, странника или торговца, который вёз с собой товары и поклажу. В отличие от многих фамилий, образованных от имени или профессии, здесь за основу взята бытовая черта: привычка или образ жизни, связанный с дорогой.

Менее вероятная, но всё же возможная версия отсылает к украинскому слову «багаса» — сахарный тростник. В таком случае прозвище мог получить тот, кто выращивал или продавал эту культуру. Однако эта гипотеза слабее: слово «багаса» узкое, специальное, и маловероятно, что оно легло в основу прозвища, тогда как польское bagaż было широко распространено в речи на западных территориях.

Фамилия Багазей — редкая. Она не встречается в массовых списках распространённых русских фамилий, и её носители, скорее всего, сосредоточены на юго-западе России или в украинских областях, граничащих с Польшей. Со временем, когда носители фамилии переселялись в русскоязычную среду, окончание -ий адаптировали под русскую норму, заменив его на более привычное -ей или просто переписав на слух. Так украинский Багазий стал русским Багазеем.