Фамилия Багмут — это фонетический вариант фамилии Бахмут. Чередование «г/х» возникло в результате исторических процессов в языке: в разговорной речи звук «х» перед гласными мог озвончаться в «г», что и закрепилось в написании. Обе формы — и Багмут, и Бахмут — восходят к одному и тому же прозвищу, а точнее к топониму Бахмут.

Бахмут — один из старейших городов Донбасса. Впервые в письменных источниках в 1571 году упоминается «Бахмутская сторожа» — крупнейшая на юге России. Само название происходит от реки Бахмут (Бахмутка), притока Северского Донца. В конце XVII века казак Изюмского полка Бирюков обнаружил на берегах реки залежи соли, богаче, чем на знаменитых Торских озёрах. Вслед за ним на Бахмут переселились жители Тора (современный Славянск). К 1701 году Бахмутская слободка по числу жителей обогнала Тор. Пётр I, узнав о соляных богатствах, в 1701 году приказал построить на реке Бахмутке деревянную крепость для защиты солеварен. Она стала крупнейшей крепостью на южной границе государства. В конце XVIII века Бахмут сделали центром Бахмутского уезда, который по территории занимал второе место в Империи после Московского. В 1923 году город переименовали в Артёмовск.

Таким образом, предок носителя фамилии Багмут, скорее всего, был выходцем из этого города или долгое время там жил. Менее правдоподобная версия выводит фамилию от краткой формы арабско-мусульманского имени Мухаммад («прославляемый»), но она не объясняет связь с конкретным топонимом и чередование в корне.

Известный обладатель фамилии — Владимир Николаевич Багмут (родился 21 февраля 1962 года), советский и украинский футболист, полузащитник. 14 лет он защищал цвета днепропетровского «Днепра», провёл один матч за вторую сборную СССР. После завершения игровой карьеры стал тренером и сейчас работает со второй клубной командой «Днепр».