Фамилия Багрешев — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а цвет. Корень здесь — «багр-», тот же, что в словах «багровый», «багряный», «багрец». В древнерусском языке «багр» означало пурпурную краску, дорогую ткань или сам пурпурный цвет. Прозвище Багреш могли дать человеку за яркий румянец, за любовь к красной одежде, а возможно — за ремесло красильщика тканей в красные тона. В любом случае, это прозвище было описательным, а не именным.

Модель образования проста: к основе «Багреш» (усечённая или разговорная форма от «багр» с суффиксом -еш-, как в «дорогой — дороже») добавили притяжательный суффикс -ев. Багрешев, таким образом, означает «сын Багреша» или «потомок того, кого звали Багреш». Фамилии на -ев типичны для русского севера и центра, но в данном случае редкий корень указывает скорее на индивидуальное прозвище, чем на массовое распространение.

В ономастике фамилия почти не упоминается. Словарь Б. Унбегауна «Русские фамилии» не фиксирует её, что подтверждает её редкость. Встречается она в основном в южнорусских областях — Воронежской, Ростовской, а также в Краснодарском крае. Там, где говорили на южнорусских говорах, слово «багреть» (краснеть, становиться багровым) было в ходу, и прозвище могло прижиться именно в крестьянской среде.

Интересная деталь: фамилия могла писаться через «я» — Багряшев, если основа восходила к церковнославянскому «багряный». Но форма Багрешев — более русская, с полногласием, характерным для бытовой речи. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был простым человеком, которого окрестили за внешность или занятие, связанное с красным цветом.