Фамилия Багрышев образована от прозвища или имени Багрыш, и у этого корня есть как минимум два объяснения — одно лежит на поверхности, другое уводит в географию Урала и башкирский язык.

Самый прямой путь: прозвище Багрыш связано с прилагательным «багровый». Так могли назвать человека с красноватым цветом лица, рыжими волосами или, в более широком смысле, вспыльчивым нравом — багровеющего от гнева. Суффикс -ыш в прозвищах нечаст, но встречается: он придаёт слову уменьшительно-характеризующий оттенок (ср. Глупыш, Малыш). Фамилия на -ев образована по стандартной патронимической модели: Багрыш → сын Багрыша → Багрышев.

Но есть и другая, более конкретная версия, которая привязывает фамилию к месту. В Челябинской области есть (или существовала) деревня Багрыш, получившая имя от речки Багруш. Гидроним, в свою очередь, выводят из башкирского «багрыш» — «форелевая». Если предки Багрышевых были выходцами из этой деревни, фамилия могла закрепиться не по прозвищу, а по названию местности: человека, переселившегося в другое село, называли «багрыш» (из Багрыша), а его потомки стали Багрышевыми. В русской ономастике такие случаи обычны: фамилия нередко обгоняет своего носителя и переходит с места на род.

Какая из версий правдоподобнее? Обе рабочие, но прозвищная — более универсальная: она объясняет фамилию без привязки к конкретному уральскому селу, а Багрышевы встречаются и за пределами Челябинской области. Географическая версия сильна там, где документально подтверждено бытование фамилии именно в тех краях. Спор решается архивными записями, но в любом случае корень один — либо красный цвет, либо уральская форель.