Фамилия Байрышев — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Её основа, «Байрыш», отчётливо указывает на тюркские языки, и в первую очередь — на башкирский или татарский ареал. В этих языках слово «бай» означает «богатый», «господин», «хозяин», а «рыш» или «рыс» — это «рысь». Составное прозвище «Байрыш» можно перевести как «богатый, как рысь» или «рысь-господин». Звучит необычно, но для тюркской антропонимии характерны сравнения с сильными, ловкими или опасными зверями: такое прозвище могли дать охотнику, обладателю рысьей хватки или просто человеку с соответствующими чертами характера.

Суффикс -ев указывает на русскую модель образования фамилий, но не на славянское происхождение корня. Типичная история: когда башкиры, татары или другие тюркские народы входили в состав Российского государства, их имена и прозвища адаптировали под русскую грамматику. Прозвище Байрыш превратилось в фамилию Байрышев, то есть «сын (или потомок) Байрыша». Именно такая форма — с суффиксом -ев, а не -ин, — встречается у фамилий, образованных от основ на мягкий согласный или шипящий, что и даёт «Байрышев» вместо гипотетического «Байрышин».

Есть и более прозаичная, но менее вероятная версия: связь с топонимом. В Башкортостане существует несколько небольших населённых пунктов с похожими названиями, например, деревня Байрыш. В таком случае фамилия могла возникнуть от названия места жительства: «Байрышев» — тот, кто родом из Байрыша. Однако прозвищное происхождение от личного имени Байрыш встречается чаще, чем топонимическое, особенно для фамилий с таким редким корнем.

В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках фамилия Байрышев встречается почти исключительно среди башкир и тептярей (сословие, близкое к башкирам) на территории современного Башкортостана и прилегающих районов Оренбургской и Челябинской областей. Это позволяет с высокой долей уверенности говорить, что предки современных Байрышевых были не дворянами и не крестьянами в привычном русском понимании, а представителями башкирского сословия — скотоводами, земледельцами или воинами. Никаких известных исторических личностей с этой фамилией в общероссийских источниках не зафиксировано, что только подтверждает её локальный, родовой характер.

Итог простой: фамилия Байрышев — тюркская по корню, русская по оформлению. Её носитель почти наверняка имеет башкирские или татарские корни, а его предок носил прозвище, связанное с рысью — зверем, которого в степи и лесостепи уважали за быстроту и независимость.