Фамилия Багряшинский — редкий случай, когда основа, казалось бы, лежит на поверхности, но механизм её образования ведёт в неожиданную сторону. Если вы подумали, что в корне лежит «багряный» (цвет, багрянец), вы почти правы, но связь тут не прямая, а через прозвище.

Самая вероятная версия — происхождение от прозвища Багряша. В старину «багряшом» могли называть человека с ярким, красным лицом (например, от загара или природного румянца), либо того, кто носил одежду багряного цвета, либо по роду занятий — красильщика тканей в багряный цвет. Суффикс -ш- в прозвищах (как Митя — Митяша, Гаврила — Гавряша) был уменьшительно-ласкательным или просто обиходным. От прозвища Багряша и образована фамилия: Багряшин — «сын Багряши», а затем к ней добавился суффикс -ский.

Именно суффикс -ский — ключевая деталь, которая выделяет эту фамилию среди однокоренных (Багрянов, Багрянцев). В русской ономастике фамилии на -ский, как правило, либо польско-белорусского происхождения (шляхта), либо указывают на владельческую принадлежность к селу или местности. В случае с Багряшинским возможен такой сценарий: предок был Багряшиным, а его потомки, переселившись или получив дворянство, «улучшили» фамилию по польской моде, прибавив -ский. Либо фамилия возникла по названию населённого пункта вроде Багряшино или Багряшин, но таких топонимов в современных реестрах не зафиксировано — это делает версию о «сельском» происхождении маловероятной.

Суффикс -инский (а не просто -ский) встречается реже и часто указывает на то, что основа — не географическое имя, а именно личное прозвище или имя. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные модели описаны как фамилии, возникшие от притяжательного прилагательного (чей? — Багряшин) с последующей адъективацией через -ский.

В итоге: Багряшинский — это «дворянизированная» версия фамилии Багряшин, а её корень — прозвище Багряша, данное либо по внешности (румянец, красный цвет лица), либо по профессии (красильщик). Спорных версий, по сути, нет — альтернатива с цветком «багрянник» или растением слишком искусственна и не подтверждается словообразовательными нормами. Фамилия очень редкая, и её носители, скорее всего, происходят из одного небольшого рода, возможно, из южнорусских или малороссийских земель, где фамилии на -ский были особенно распространены среди казачьей старшины и духовенства.