Фамилия Бахаринський записана с украинским суффиксом -ськ-, и это сразу указывает на её происхождение: перед нами типичная украинская фамилия, образованная по модели «название места + суффикс принадлежности». В русском языке ей соответствовал бы вариант Бахаринский, но исходная форма — именно украинская, с мягким знаком.

Основа фамилии — топоним Бахарине (или Бахарин). Скорее всего, так называлось село или хутор, откуда был родом первый носитель фамилии. Название такого поселения, в свою очередь, могло произойти от прозвища или фамилии основателя — Бахара. Слово «бахарь» в древнерусских говорах означало говорун, краснобай, сказочник, балагур. Человек, который любил и умел рассказывать, мог получить такое прозвище, а его потомки, переселившись в другое место, основали деревню Бахарино — «деревня Бахара». Затем жителей этой деревни, перебравшихся в иные края, записывали как Бахаринських — то есть «выходец из Бахарина».

Есть и более прозаичная версия: в украинских диалектах «бахар» могло быть вариантом слова «багатий» (богатый) или производным от тюркского «бахши» (дар, подарок). Но первая версия — с прозвищем говорливого предка — выглядит убедительнее, поскольку слово «бахарь» хорошо документировано в памятниках восточнославянской письменности.

Суффикс -ський в украинских фамилиях — признак шляхетского или казацкого происхождения, но не всегда. В XVIII–XIX веках такую форму часто давали крестьянам при переписи, если они жили в деревне с названием на -ино. Поэтому предки Бахаринських могли быть как казаками, так и государственными крестьянами, но точно не были крепостными в польских поместьях — там фамилии чаще заканчивались на -ович или -ук.

Фамилия редкая. Её носители встречаются в центральной и восточной Украине, особенно в Черкасской и Полтавской областях. Если ваши предки оттуда, то, скорее всего, корни уходят в одно из сёл с названием Бахарине, которых на карте Украины сохранилось немного.