Фамилия Бахтырев — редкий случай, когда прозвище, скорее всего, пришло не из русского, а из тюркского мира, и при этом сохранило почти неизменным свой корень. Основа здесь — слово «бахтыр» или «бахтур», которое в ряде тюркских языков означало «богатырь», «силач», «удалец». В русских говорах, особенно в южных и поволжских, это слово тоже прижилось: «бахтырь» — человек крепкого сложения, здоровяк, иногда с оттенком «забияка» или «буян». Иными словами, предок Бахтыревых получил прозвище по своей физической силе или крутому нраву.

Модель образования фамилии простая и типичная для XVI–XVII веков: основа «Бахтыр(ь)» плюс притяжательный суффикс «-ев», который указывал на принадлежность («чей?» — сын Бахтыря). Форма «Бахтыр-ев», а не «Бахтыр-ов», объясняется тем, что исходная основа оканчивалась на мягкий согласный или на «-рь». Если бы прозвище звучало как «Бахтыр», фамилия была бы Бахтыров, но в документах и в современном написании закрепился именно вариант с «е».

Географически фамилия тяготеет к регионам, где было сильное тюркское влияние и смешанное население — к бывшим землям Казанского и Астраханского ханств, а также к южнорусским областям. Встречаются Бахтыревы в старых списках служилых людей и казаков: обладатель такого прозвища вполне мог быть не крестьянином, а «гулящим человеком» или казаком, поскольку прозвище подчеркивало боевые качества. В дореволюционных переписях фамилия не была массовой и оставалась относительно локальной.

Стоит упомянуть и вероятную путаницу с однокоренными фамилиями. Иногда Бахтырева пишут через «и» — Бахтирев, но это уже другой корень, от имени Бахти (арабское «счастливый»). В вашем случае буква «ы» — верный маркер именно тюркского «бахтыр» со значением силы, а не счастья. Если ваши предки носили эту фамилию, можно с высокой вероятностью предположить, что родоначальник был заметным физически человеком, возможно, на военной или сторожевой службе на южных рубежах России.