Фамилия Балбышкина — это женская форма фамилии Балбышкин, и чтобы понять её происхождение, нужно разобраться с мужским вариантом. В основе лежит прозвище или неканоническое имя Балбышка. Такие имена на -ышка (как Малышка, Голышка) в русской традиции часто давали детям, причём не только из-за внешности, но и как оберег или шутливое домашнее прозвище.

Корень здесь, скорее всего, диалектный. В южнорусских и украинских говорах «балба» или «балбуха» означало нечто толстое, пухлое, неуклюжее, иногда — болтуна или пустомелю. Отсюда «балбышка» — человек с пышными формами, медлительный, либо, наоборот, говорливый и хвастливый. Встречается и значение «шишка», «нарост», что могло относиться к внешней особенности. Таким образом, Балбышкин — буквально «сын Балбышки», то есть потомок того, кого в деревне прозвали за полноту, неповоротливость или болтливость.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ин указывает на принадлежность. В русских фамилиях этот суффикс характерен для основ, оканчивающихся на -а или -я (Балбышк-а → Балбышк-ин). Фамилия явно крестьянская или мещанская по происхождению — дворянские роды с таким окончанием редки и обычно имеют книжное, а не прозвищное происхождение.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Поволжью. Встречается в архивных записях XIX века в Воронежской, Тамбовской и Саратовской губерниях. Это согласуется с ареалом диалектного слова «балба». Интересно, что однокоренные фамилии — Балбашов, Балбашин, Балбышев — имеют ту же основу, но разные суффиксы, что говорит о самостоятельном возникновении в разных регионах, а не о едином роде.

Современному носителю фамилии стоит знать: её не стоит путать с тюркскими корнями (хотя созвучие с «балбал» — каменным изваянием — есть, но для русской фамилии это маловероятно). Ваш предок был русским крестьянином, получившим прозвище за яркую бытовую черту — скорее всего, за дородность или неспешный нрав.