Фамилия Балийчук звучит не на слух, а на взгляд: её основа, скорее всего, восходит к украинскому или польскому слову «балія» — так называли большую деревянную лохань, корыто или чан для стирки, засолки, купания. Корень «бал-» в этом значении широко распространён в говорах юго-запада: от «балити» (мыть, полоскать) до «балейка» (кадка). Если предок получил прозвище Балий, то он мог быть бочаром, делающим такие кадки, или же просто человеком, чья работа была связана с водой и большими ёмкостями — например, прачом или кожевником.

Словообразовательная модель здесь типично западноукраинская. Суффикс -чук (в польской передаче -czuk) указывает на сына или ученика мастера: Балийчук — «маленький Балий» или «сын Балия». Такая модель особенно характерна для Волыни, Подолья и Галичины, где фамилии на -чук стоят на втором месте по распространённости после -енко. В отличие от восточноукраинских фамилий с тем же корнем (Балиенко, Балиев), форма на -чук выдаёт более узкую региональную привязку — скорее всего, запад современной Украины или приграничные районы Польши.

Есть и другая, менее очевидная версия: от личного имени Балла (уменьшительное от Бальтазар или Балдуин) через промежуточную форму Балий. Но она слабее, потому что в украинской ономастике прозвища от названий предметов быта встречаются куда чаще, чем от редких католических имён, да ещё с таким суффиксом. К тому же «балія» — слово живое, бытовое, и прозвище от него могло возникнуть спонтанно в любой деревне.

Написание фамилии — Балийчук, а не Балійчук — говорит о том, что носители либо давно обрусели, либо фамилия записывалась в польских метриках латиницей, где «i» передаёт и «и», и «і». Встречаются варианты Балійчук (с украинской «і») и Балийчук (с русской «и»), но оба читаются одинаково. Географически фамилия редкая, её следы теряются в переписях XIX века на территории Подольской губернии — тогда Балийчуки были преимущественно крестьянами или мещанами, без привязки к шляхетскому сословию.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Балийчук стоит в одном ряду с Балицким, Балинским и Балиевичем, но отличается от них именно суффиксом, который в XVIII–XIX веках часто получали семьи ремесленников, а не землевладельцев. Так что, скорее всего, предок нынешних носителей фамилии был не помещиком, а человеком, который делал кадки или стирал в них бельё — и это прозвище закрепилось за его родом.