Фамилия Балих — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от большинства русских фамилий на -ов или -ин, здесь мы видим финаль -их, которая указывает на совершенно другую словообразовательную модель. Такие фамилии (с окончанием -их / -ых) типичны для северных и центральных областей России, а также для Сибири, где они закрепились в среде крестьянства и казачества. Форма Балих — это родительный или предложный падеж множественного числа: «из семьи Балих», «у Балих». То есть фамилия закрепилась как обозначение целого рода, а не конкретного человека.

Корень «Бал-» в русских прозвищах и фамилиях многозначен. Самое вероятное объяснение — связь с диалектным словом «бали́ть» или «ба́лить», которое в некоторых говорах означало «баловать», «шалить», «проказничать». Соответственно, Балих — потомок того, кого в деревне прозвали Баля, то есть шалун или баловник. Такие прозвища давали не в обиду, а скорее как бытовую характеристику. Суффикс -их при этом не меняет смысла основы, а лишь оформляет фамилию как «родовую».

Менее распространённая, но возможная версия — связь с именем Балий. В древнерусских памятниках встречается имя Балий (возможно, сокращение от Баломир или от славянского «бал» — «белый» в южнославянских диалектах). В таком случае фамилия Балих — это патроним: «сын Балия» или «из семьи Балия». Однако для севернорусской модели -их такая основа редка: обычно патронимы на -их образовывались от имён в полной форме (Иваныч, Петровых), а не от коротких.

Версия о тюркском или кавказском происхождении (от тюркского «балык» — «рыба» или грузинского «бали» — «вишня») для фамилии с окончанием -их маловероятна. Русский суффикс -их прочно привязан к славянской основе, и если бы предок нёс тюркское прозвище, фамилия скорее оформилась бы как Балыков.

Географически фамилия Балих встречается точечно: записи XVIII–XIX веков фиксируют её в Вологодской, Архангельской и Вятской губерниях — как раз в зоне бытования фамилий на -их. При этом в центральных и южных регионах она почти не встречается, что подтверждает её северное происхождение.

Итак, скорее всего, Балих — это севернорусская фамилия, образованная от прозвища Баля (баловник) по модели «чей?» — Балих. Предки носителей этой фамилии жили в крестьянской общине, где за каждым двором закреплялось родовое прозвание, и спустя поколения оно стало наследственной фамилией.