Фамилия Балыкшов — редкая, и её разговорный облик подсказывает, что она прошла долгий путь изменений. Скорее всего, перед нами не исходная форма, а русифицированный вариант фамилии, образованной от тюркского слова «балык» — рыба. Основа «Балык-» в русских фамилиях встречается нечасто, но известна: есть фамилии Балыков, Балыкин, Балычев. Форма «Балыкшов» выделяется суффиксом «-шов», который в русском языке не характерен для исконных моделей. Это наводит на мысль, что фамилия возникла в среде, где тюркские имена адаптировались под русские патронимические окончания.

Вероятнее всего, Балыкшов — это изменённая фамилия типа Балыкчиев или Балыкшев. В тюркских языках суффикс «-чи» (или «-шы») обозначает профессию: «балыкчи» — рыбак. При переходе в русскую среду к основе «Балыкчи» могли добавить русский суффикс притяжательности «-ов», получив «Балыкчиов». Со временем произношение упростилось: «чи» перешло в «ш», а «и» стянулось. Так «Балыкчиов» превратился в «Балыкшов». В пользу этой версии говорит и то, что фамилия Балыкшев (от «балыкшы» — рыбак) реально существует в Поволжье и на Урале, особенно среди татар и башкир. Балыкшов, вероятно, — ещё один вариант того же корня, закрепившийся в письменной форме.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от прозвища «Балыкша». В некоторых говорах «балыкша» могли называть человека, похожего на рыбу (например, молчаливого или скользкого), либо продавца вяленой рыбы. В таком случае фамилия образована по стандартной русской модели «прозвище + -ов»: Балыкша → Балыкшов. Однако суффикс «-ша» в прозвищах встречается редко, и эта версия слабее.

Географически фамилия Балыкшов, судя по скудным данным, привязана к Волго-Уральскому региону, где веками жили рядом русские и тюркские народы. Носители фамилии могли быть потомками рыбаков, перешедших из ислама в православие и получивших фамилию по профессии. Сословно это, скорее всего, крестьяне или мещане — дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Точных дат и имён известных носителей нет, так как фамилия редкая и не попала в крупные генеалогические справочники.

Если вы ищете свои корни, стоит проверить записи по Оренбургской, Самарской или Уфимской губерниям — именно там фамилии с тюркской основой на «-шов» встречаются чаще всего. Также полезно поискать вариант Балыкшев: не исключено, что в документах XIX века ваши предки записаны именно так, а современное написание — результат ошибки писаря или местного говора.