Фамилия Банаховская — яркий пример женской формы польской или западнорусской фамилии с суффиксом -ская. В польской ономастике окончание -ская/-цкая у женщин было нормой, а у мужчин фамилия звучала бы как Банаховский. В восточнославянской среде (белорусской, украинской) такие фамилии часто закреплялись за шляхтой или духовенством, но со временем распространились и среди крестьян после отмены крепостного права.

Корень фамилии — Банах. Это прозвище или уменьшительная форма от имени Бенедикт (через польское Benedykt → Banach). В польском языке «banach» также могло означать «балахон» или «мешковатая одежда» — так могли прозвать человека, носившего просторную, не по фигуре одежду. Есть и третья версия: от немецкого «Bannach» — «банщик» или «человек, работающий в бане», что связано с переселением немецких колонистов в Польшу и Галицию.

Географически фамилия Банаховская (и мужская Банаховский) чаще всего встречается на землях бывшей Речи Посполитой — в Польше, Западной Беларуси и Западной Украине. В России она редка и почти всегда указывает на польские или западнорусские корни семьи. Обратите внимание на характерный суффикс -ов- перед -ская: он говорит о том, что фамилия образована от личного прозвища или имени (Банах), а не от названия места — иначе было бы Банаховская (от села Банахи) или Банахская (от Банахи). То есть предок носителя фамилии, скорее всего, был известен как Банах, а его потомки стали Банаховскими.

Если ваша фамилия именно с окончанием -ая, а не -а, то это окончание прилагательного женского рода, типичное для русской традиции XIX века, когда женские фамилии в документах писали так же, как мужские, но с другим окончанием. Современная норма — склонять Банаховскую как прилагательное.