Фамилия Барадулина — женская форма Барадулин, а та образована от прозвища или нецерковного имени Барадуля. Основа здесь почти наверняка связана с диалектным словом «барада» — так в некоторых говорах произносили «борода». Это не описка и не ошибка: аканье, при котором «о» переходит в «а», в русских фамилиях закрепилось на письме, особенно если прозвище записывали на слух. Так что Барадуля — человек с бородой, бородач.

Интереснее здесь суффикс -уля. В русской антропонимии он редок и несёт яркую экспрессивную окраску: чаще всего уменьшительно-ласкательную или, наоборот, пренебрежительную, шутливую. Сравните с фамилиями Козуля, Хвастуля, Грызуля. Барадуля — не просто «бородатый», а «бородушка», «бородачок»: прозвище могли дать либо мальчику, у которого рано пробилась бородка, либо мужчине с окладистой, заметной бородой, но с оттенком добродушного подшучивания. Фамилия не дворянская, не княжеская — типичная крестьянская или посадская, от прозвища по внешнему признаку.

Формы на -улин/-улина встречаются нечасто, но известны: есть фамилии Козулин, Хвастулин, Брыкулин. Все они — от прозвищ на -уля. Географически Барадулины тяготеют к северо-западным и центральным областям России, где аканье было нормой, а слово «барада» фиксируется в псковских и новгородских говорах. В XIX веке фамилия встречается в Тверской, Смоленской и Псковской губерниях.

В написании возможны варианты: Бародулина — с сохранением исходного «о», но основная, исторически закрепившаяся форма — именно через «а». Двойное «а» в корне (Барадулина, а не Бародулина) сразу указывает на акающий регион происхождения. В словарях русских фамилий эта фамилия не из самых ходовых, но её разбор прозрачен: прозвище Барадуля → отчество по сыну «Барадулин сын» → фамилия Барадулин → женская Барадулина.