Фамилия Барашихин — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а, скорее всего, прозвище, связанное с поведением или речью. Разберём её по косточкам.

Корень «бараш» сразу отсылает к слову «барашек» — уменьшительному от «баран». Но вряд ли предок пас овец. В русских говорах «барашком» называли не только животное, но и человека с кудрявыми волосами, а также — что важнее — того, кто говорит «барашком», то есть гнусаво, в нос, или же упрямится по-бараньи. Прозвище Бараш или Барашек могло закрепиться за обладателем курчавой шевелюры или за человеком с характерным дефектом речи. Вторая версия — от глагола «барашить» (в диалектах: шуметь, возиться, делать что-то небрежно), но она менее вероятна, так как глагол редок.

Фамилия образована по модели «Бараш + ихин». Суффикс -ихин — вариант более частого -ин, но с элементом -их-. Он типичен для фамилий, образованных от прозвищ на -иха (Барашиха — жена Бараша). То есть Барашихин — буквально «чей?» — сын Барашихи, то есть потомок женщины, которую звали по мужу Барашихой. Такие фамилии (Скорняков — Скорнячихин, Кузнецов — Кузнечихин) часто возникали в среде, где женщину называли по мужней профессии или прозвищу. В случае с Барашихиным прозвище мужа — Бараш — дало форму для жены, а та — фамилию для детей.

Встречается фамилия в основном в центральных и северных областях России, но везде редко. В дореволюционных переписях носители могли быть крестьянами или мещанами — сословной привязки нет. Интересно, что в документах XIX века встречается написание «Барашихинъ» через «ять» под ударением — это указывает на северное или владимирское происхождение, где «о» после шипящих произносили как «ё». Нынешняя орфография закрепила «а».

Если коротко: ваш предок, скорее всего, был кудрявым или гнусавым человеком по прозвищу Бараш, а фамилию дети получили от его жены — Барашихи. Никакого барана в гербе, только живая речевая черта.